72 の法則（ 70 の法則）とは、「複利○○パーセントで運用したときに元本が 2 倍になるのは何年後か」を計算するための簡便な計算方法として知られています。

これは、「年数＝ 72 ÷年利」という式を使うと簡単に計算できるというもので、これが「 72 の法則」です。一般的には「 72 の法則」として説明されることが多いように思いますが、「 70 の法則」とされることもあります。

計算方法は７２÷複利利率＝倍になる年数となります。例えば、 3% の複利で運用した場合に元本が倍増する年数を知りたい時、 72 ÷ 3 ＝ 24 ですので、３％で毎年運用すると 24 年後に元本が倍になるというように計算できます。

気を付けるべき点は、実際に毎年同じ利回りの複利で資産を運用することは困難ですので、実はあまり実益のあるものではないかもしれません。

目標利回りの設定と、その目標利回りが達成された場合の結果を想像することで楽しみには使えます。

また、興味を引くのには有効な面があります。この法則の話を持ち出すことにより、「複利１％だと元本倍になるのに７２年も掛かりますよ。１０％だと７年ちょっとで倍になるんですよ。」という法則への不思議さへの好奇心とともに話を引きつけることが可能となります。

なぜ「７２」又は「７０」なのか。これは数学的にはテイラー展開の応用例で計算出来ます。年利 r% が複利で n 年回ると、元金は、 (1+r/100) n 倍になるので、これが 2 になるという式を n について解けば出ます。 (1+r/100) n ＝２の両辺の自然対数を取って割ると、 n = log2/log(1+r/100) になる。ここで、 log のテイラー展開（マクローリン展開）が、

log(1+x) = x － x 2 /2 + x 3 /3 － x 4 /4 + …

であることから、 1 次の項までとって log2/log(1+r/100) に放り込むと、ほぼ 100log2/r になります。 100log2 は約 70 なので、 70 の法則が導けます。（ 神永正博先生のサイト より）

細かくは、 log2 は 0.693 で約 70 、だから 70 の法則ということです。

数学的な詳しい計算過程は こちら をご参照下さい。

エクセルでの計算の仕方の解説は こちら をご参照下さい。

ここで興味深いことに気が付きます。

数学的には「７０の法則」なのに、一般的には「７２の法則」としての方が広く知られているように見受けられます。

「７０」より「７２」という数字の方が「神秘性」を感じる気がしませんか？本当のところは何故だかは分かりませんが、７２の法則は不思議さをわきたてるために７０の法則よりも広まっているのかもしれません。

さて、 72 の法則（ 70 の法則）は実際の計算結果とどの程度離れているのでしょうか。

70 の法則、又は 72 の法則により計算される元本が２倍になる年数は下記表の通りです。

実際の倍率は、複利利回りが 70 の法則、または 72 の法則で計算された年数で実現された場合の実際の倍率です。

これが２に近いほど、 70 の法則または 72 の法則の計算結果が近似していることになります。

計算式は、「（１＋複利利回り ( ％ ) ）× 70 （ or72 ）の法則で計算された年数」により算出しています。

複利利回り 70の法則で計算（年） 実際の倍率 72の法則で計算（年） 実際の倍率
0,05% 1400 2.0134 1440 2.054
0,1% 700 2.013 720 2.0536
0,5% 140 2.0102 144 2.0507
0,7% 100 2.0088 102.9 2.0492
1.0% 70 2.0067 72 2.047
3.0% 23.3 1.9931 24 2.0327
5.0% 14 1.9799 14.4 2.0189
7.0% 10 1.9671 10.3 2.0055
10.0% 7 1.9487 7.2 1.9862
15.0% 4.7 1.9198 4.8 1.9559
20.0% 3.5 1.8929 3.6 1.9277

70 の法則で計算した場合は、１％～３％程度が近似し、 72 の法則で計算した場合は、７％～１０％程度が近似することが分かります。いずれも、近似する％を上下に離れるほど近似値が落ちていくことが分かります。

また、それぞれの利回りでの実際に元本が２倍になる年数は下記表の通りです。

元本が 2 倍になる年数は、２倍以上になる最初の年数の小数点以下１桁を記載しています。

例えば、元本の増加は複利７％で年数が 10.2 年だと 1.9940 で、 10.3 年だと 2.0075 となりますので、「 10.3 年」が複利７％で運用して元本が倍になる年数ということになります。

複利利回り 元本が2倍になる年数
0,05% 1386.6
0,1% 693.5
0,5% 139
0,7% 99.4
1.0% 69.7
3.0% 23.5
5.0% 14.3
7.0% 10.3
10.0% 7.3
20.0% 3.9

このことからも、 72 の法則（ 70 の法則）は 近似値の％を外れていくほど実際の計算結果とは乖離はするものの、大きくは外れていないことが分かります。

暗算で計算出来る方法としては十分に有効性があると言えるでしょう。


By ASK

本人の同意のもと、ブログ記事を一部修正等を行った上で掲載しています。
ブログ記事：2010/12/30 72の法則 とは

photo credit: Marvin (PA) via photo pin cc

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